Encadrement d'une aire

Le plan est muni d'un repère orthonormé d'unité 1 cm.

Soit `mathcalC_f` la courbe représentative de la fonction `f:x\mapsto x^2`  définie sur  \(\mathbb{R}\) .

Le but de l'exercice est de déterminer un encadrement de l'aire \(S\) , en cm \(^2\) , de la surface hachurée en rouge. Celle-ci correspond à la partie du plan comprise entre `mathcalC_f` , l'axe des abscisses et les droites d'équation `x=1` et `x=3` .

1. On considère les points A et B de la courbe `mathcalC_f` d'abscisses respectives `a=1` et `b=3` , ainsi que leurs projetés orthogonaux respectifs H et H' sur l'axe des abscisses.

   a. Déterminer les coordonnées des points A et B.

   b. En observant la figure, que pouvez-vous dire de la position relative du segment [AB] par rapport à `mathcalC_f`  ?

   c. Calculer l'aire, en cm \(^2\) , du trapèze AHH'B.

   d. En déduire que \(S<10\) .

2. On a tracé sur le graphique la tangente  \(\mathcal{T}\) à `mathcalC_f` au point d'abscisse `x=2` .

    a. Déterminer `f'(2)` par lecture graphique.

    b. En déduire l'équation réduite de \(\mathcal{T}\) .

    c. Démontrer que H appartient à \(\mathcal{T}\) .

    d. Calculer les coordonnées du point E appartenant à  \(\mathcal{T}\) et d'abscisse \(x_\text{E}=3\) .

3. a. En observant la figure, que peut-on dire de la position relative du segment [EH] par rapport à `mathcalC_f`  ?

    b. Calculer l'aire,   en cm \(^2\) , du triangle HH'E.

4. Déduire des questions précédentes un encadrement de \(S\) par deux entiers.